В июле планируется взять кредит на сумму

В июле планируется взять кредит на сумму

Задание 17. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший — не менее 0,6 млн рублей.

Обозначим через В июле планируется взять кредит на суммуРазмер кредита, т. е. В июле планируется взять кредит на суммуМлн рублей. По условию задачи каждый год кредит увеличивается на r%, т. е. становится равный В июле планируется взять кредит на сумму, а затем, делается платеж так, чтобы сумма долга уменьшалась на одну и ту же величину, т. е. в первый раз платеж должен быть равен В июле планируется взять кредит на суммуИ долг становится

В июле планируется взять кредит на сумму.

На следующий год осуществляются подобные действия, долг увеличивается на r%, а платеж вносится в размере В июле планируется взять кредит на сумму:

В июле планируется взять кредит на сумму.

В последний год сумма платежа будет равна

В июле планируется взять кредит на сумму.

Из этих выражений видно, что максимальная сумма платежа приходится на 1-й год, а минимальная – на последний. Следовательно, получаем два неравенства:

В июле планируется взять кредит на сумму

Выражаем неизвестное r, подставляем вместо В июле планируется взять кредит на сумму, получим

В июле планируется взять кредит на сумму

Следовательно, В июле планируется взять кредит на сумму% годовых.

Источник

В июле планируется взять кредит на сумму

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

Пусть X (рублей) — нужно платить ежегодно.

В январе сумма долга составит 8052000*1,2 = 9662400.

После 1 платежа сумма долга станет равна 9662400 — X.

В январе сумма долга составит (9662400 — X)*1,2.

После 2 платежа сумма долга станет равна (9662400 — X)*1,2 — X.

В январе сумма долга составит ((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2.

После 3 платежа сумма долга станет равна ((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X.

В январе сумма долга составит (((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X)*1,2.

После 4 платежа сумма долга станет равна (((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X)*1,2 — X.

Так как кредит был погашен 4 равными платежами, то после 4 платежа долга не осталось, т. е.

(((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X)*1,2 — X = 0.

Решим это уравнение и найдем X.

((9662400*1,2-1,2X — X)*1,2 — X)*1,2 — X = 0,

(9662400*1,2 2 — 2,64X-X)*1,2 — X = 0,

9662400*1,2 3 — 4,368X — X = 0,

5,368X = 9662400*1,2 3 ,

Ответ: 3 110 400.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.

Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Пусть в банке было взято X млн. руб.

В январе сумма долга будет составлять 1,2 X.

После 1 платежа сумма долга составит: 1,2 X — 2,16.

В январе сумма долга будет составлять \(1,2 \cdot (1,2 X — 2,16) = 1,2^2 \cdot X — 2,592.\)

После 2 платежа сумма долга составит: \(1,2^2 \cdot X — 1,2\cdot 2,16 — 2,16 = 1,2^2 \cdot X-4,752\).

В январе сумма долга будет составлять \(1,2 \cdot (1,2^2 \cdot X-4,752) = 1,2^3 \cdot X — 5,7024\).

После 3 платежа сумма долга составит: \(1,2^3 \cdot X — 5,7024 — 2,16 = 1,2^3 \cdot X-7,8624\).

Так как кредит был погашен 3 равными платежами, то после 3 платежа долга не останется, т. е.

\(1,2^3 \cdot X-7,8624 = 0\),

\(1,2^3 \cdot X = 7,8624\),

То есть в банке было взято 4,55 млн. руб.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число а, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей.

В январе сумма долга составит \((1+a/100) \cdot 100 000 = 100 000+1000a\).

После 1 платежа долг будет равен \(100 000+1000a — 55000 = 45000+1000a\).

В январе сумма долга составит \((1+a/100) \cdot(45000+1000a)\).

После 2 платежа долг будет равен \((1+a/100) \cdot(45000+1000a) — 69 000\).

Так как кредит был полностью погашен за 2 года, то после выплаты 2 платежа долга не осталось, то есть

\((1+a/100) \cdot(45000+1000a) — 69 000 = 0,\)

\( 45000+1000a +450a + 10a^2 — 69000 = 0\),

\(a^2 +145a — 2400 = 0\),

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года.

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

Рассмотрим сначала случай, когда кредит будет погашен 4 равными платежами.

Пусть X (рублей) — сумма ежегодного платежа.

В январе сумма долга составит 1,2 * 4026000.

После 1 платежа долг будет равен 1,2 * 4026000 — X.

В январе сумма долга составит \(1,2 \cdot (1,2 * 4026000 — X) = 1,2^2 \cdot 4026000 — 1,2X\).

После 2 платежа долг будет равен \(1,2^2 \cdot 4026000 — 1,2X — X = 1,2^2 \cdot 4026000 — 2,2X\).

В январе сумма долга составит \(1,2 \cdot (1,2^2 \cdot 4026000 — 2,2X) = 1,2^3 \cdot 4026000 — 2,64X\).

После 3 платежа долг будет равен \(1,2^3 \cdot 4026000 — 2,64X — X = 1,2^3 \cdot 4026000 — 3,64X\).

В январе сумма долга составит \(1,2 \cdot (1,2^3 \cdot 4026000 — 3,64X) = 1,2^4 \cdot 4026000 — 4,368X\).

После 4 платежа долг будет равен \(1,2^4 \cdot 4026000 — 4,368X — X = 1,2^4 \cdot 4026000 — 5,368X\).

Так как кредит был выплачен 4 равными платежами, то после 4 платежа сумма долга рана 0, то есть:

\(1,2^4 \cdot 4026000 — 5,368X = 0,\)

\(5,368X = 1,2^4 \cdot 4026000\),

А за все 4 года выплаченная сумма составит \(4 \cdot 1 555 200 = 6 220 800.\)

Теперь рассмотрим случай, когда кредит был погашен 2 равными платежами.

Пусть Y (руб.) — размер ежегодного платежа.

В январе сумма долга составит 1,2 * 4026000.

После 1 платежа долг будет равен 1,2 * 4026000 — Y.

В январе сумма долга составит \(1,2 \cdot (1,2 * 4026000 — Y) = 1,2^2 \cdot 4026000 — 1,2Y\).

После 2 платежа долг будет равен \(1,2^2 \cdot 4026000 — 1,2Y — X = 1,2^2 \cdot 4026000 — 2,2Y\).

Так как кредит был выплачен 2 равными платежами, то после 2 платежа сумма долга рана 0, то есть:

\(1,2^2 \cdot 4026000 — 2,2Y = 0,\)

\(2,2Y =1,2^2 \cdot 4026000\),

А за 2 года выплаченная сумма составит \(2 \cdot 2 635 200 = 5 270 400.\)

Тогда разница между выплатами за 4 года и за 2 года будет равна:

Источник

В июле планируется взять кредит на сумму

Задание 17. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Взятый в первый год кредит в сумме 16 млн рублей, на следующий год сначала увеличивается на 25%, т. е. становится равный В июле планируется взять кредит на суммуМлн рублей, а затем, идет погашение таким образом, чтобы выплаты были равными каждый год. Предположим, что долг выплачивается В июле планируется взять кредит на суммуЛет, тогда после первого года выплата составит В июле планируется взять кредит на суммуИ сумма долга будет равна

В июле планируется взять кредит на суммуМлн рублей.

После второго года следует сделать выплату в размере В июле планируется взять кредит на суммуИ сумма долга будет равна

В июле планируется взять кредит на сумму.

Таким образом, после В июле планируется взять кредит на суммуЛет сумма долга будет равна

В июле планируется взять кредит на сумму,

А размер выплат составит

В июле планируется взять кредит на сумму

В июле планируется взять кредит на сумму,

Так как по условию задачи общая сумма выплат составила 38 млн рублей. Учитывая, что

В июле планируется взять кредит на сумму,

Источник

В июле планируется взять кредит на сумму

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?

Так как мы ищем минимальный срок кредита, то первый платеж должен быть максимальным, т. е. составлять 1,8 млн. рублей.

В январе сумма долга станет равной 1,2 * 6 = 7,2 млн. руб.

После 1 платежа сумма долга будет равна 7,2 — 1,8 = 5,4 млн. руб.

6 — 5,4 = 0,6 — разница между долгом в июле одного года и в июле следующего года.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то каждый год долг в июле должен быть на 0,6 млн руб. меньше, чем в июле предыдущего года.

В таком случае пусть осталось выплатить n платежей. Тогда

Учитывая, что 1 платеж уже был сделан, то минимальный срок крелита составит 10 лет.

Заметим, что все ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.

Действительно, на 2 год в январе месяце долг составит 5,4*1,2 = 6,48. После выплаты он должен отличаться от предыдущей суммы долга в июле на 0,6 млн. руб., значит, сумма долга в июле составит 5,4 — 0,6 = 4,8 млн. руб, а выплата за 2 год равна 6,48 — 4,8 = 1,68 млн. руб, что меньше, чем 1,8 млн. руб.

На (n+1)-ый год в июле месяце долг составит 6-0,6n.

Долг на январь месяц будет составлять (6-0,6(n-1))*1,2

Сумма выплаты за n год равна (6-0,6(n-1))*1,2 — (6-0,6n) = 1,92 — 0,12n.

Получаем, что при n>1 ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.

Окончательно получаем, что кредит будет выплачен за 10 лет.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?

В январе сумма долга составит 10*1,1 = 11 млн. руб.

Пусть 1 платеж составил X млн. руб. Тогда после 1 платежа долг составит (11-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то разница между долгом каждый год будет равна

10 — (11-X) = (X — 1) млн. руб.

Осталось выплатить долг еще за 4 года. Через 4 года долг в июле месяце будет равен

Так как кредит был погашен за 5 лет, то последний долг равен 0, т. е. получаем уравнение:

То есть 1-ый платеж составил 3 млн. руб.

После этого долг в июле составил 11-3 = 8 млн. руб.

Во 2 год в январе долг составит уже 1,1*8 = 8,8 млн. руб. И так как разница между долгом каждый год в июле равна 3 — 1 = 2 млн. руб., то на июль 2-го года долг составит 8 — 2 = 6 млн. руб. Значит, 2 платеж был равен 8,8 — 6 = 2,8 млн. руб.

В 3 год в январе долг равен 1,1*6 = 6,6 млн. руб. На июль 3-го года долг будет равен 6 — 2 = 4 млн. руб., значит, 3 платеж равен 6,6 — 4 = 2,6 млн. руб.

В 4 год в январе долг равен 4*1,1 = 4,4 млн. руб. На июль 4 года долг составит 4 — 2 = 2 млн. руб. И 4-ый платеж был равен 4,4 — 2 = 2,4 млн. руб.

На январь 5-го года долг составит 2*1,1 = 2,2 млн. руб. И так как кредит был полностью погашен за 5 лет, то это будет последний платеж и он будет равен сумме долга, т. е. 2,2 млн. руб.

Итого общая сумма платежей за 5 лет составила: 3+2,8+2,6+2,4+2,2 = 13 млн. руб.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей?

В январе долг стал равен 20*1,3 = 26 млн. руб.

Пусть X (млн. руб.) — составил 1 платеж.

Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (26-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то эта величина равна 20 — (26-X) = (X-6) млн. руб.

Пусть кредит был взят на n лет.

Тогда в n-ый год в январе долг будет равен

\((20 — (n-1)\cdot(X-6))\cdot1,3 \) млн. руб.

В июле n-го года долг равен 20-n(X-6).

А выплату в n году можно посчитать по формуле:

В 1 год платеж был равен X млн. руб.

\((20 — X+6)\cdot 1,3 — 20 + 2X-12 = 33,8 — 1,3X — 32+2X = 1,8+0,7X.\)

\((20 — 2X+12)\cdot 1,3 — 20+3 \cdot(X-6) = 41,6-2,6X — 20+3X-18 = 3,6+0,4X.\)

Имеем арифметическую прогрессию, разность которой равна 1,8-0,3X, а первый член прогрессии равен X.

Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей, то получаем по формуле для суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Так как n-ый платеж является последним, то получаем уравение:

Откуда получаем, что

Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии):

$$20\cdot (2X(X-6)+(1,8-0,3X)\cdot 20 -(1,8-0,3X)\cdot (X-6)) = 94 \cdot (X-6)^2, $$

$$10\cdot(2x^2 — 12X+36-6X-1,8X+10,8+0,3X^2-1,8X) = 47 \cdot (X^2 — 12X+36),$$

$$10 \cdot (2,3X^2-21,6X+46,8) = 47 \cdot (X^2 — 12X+36), $$

$$23X^2-216X+468 = 47 X^2 — 564 X+1692, $$

Пусть X = 8,5. Тогда n = 20/2,5 = 8.

Если X = 6, то n посчитать невозможно, так как в знаменателе 0.

Получаем, что кредит был взят на 8 лет.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти х, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей.

В январе сумма долга составит \((1+x/100)\cdot 6\).

Пусть первый платеж равен Y, тогда в июле останется сумма долга, равная

При этом в июле каждого года долг будет уменьшаться на одну и ту же величину, равную

$$6 — ((1+x/100)\cdot 6 — Y) = Y — 6x/100. $$

Так как кредит будет полностью выплачен за 15 лет, то получаем уравнение:

$$6 — 15 \cdot (Y-6x/100) = 0,$$

Тогда в июле каждого года долг будет уменьшаться на величину, равную

$$Y — 6x/100 = 0,06X+0,4 -0,06X = 0,4. $$

И в июле сумма долга будет равна 6 — 0,4 = 5,6 млн. руб.

В январе сумма долга составит

В июле долг уменьшится на 0,4 млн. руб. по сравнению с июлем предыдущего года и станет равным 5,6 — 0,4 = 5,2.

Тогда платеж за 2 год составит

$$5,6 \cdot (1+\frac) — 5,2 = 0,056x+0,4.$$

Каждый год платеж уменьшается на одну и ту же сумму, а именно на

$$0,06X+0,4 — (0,056x+0,4) = 0,004x.$$

Поэтому последний 15 платеж будет равен

$$0,06X+0,4 — 14 \cdot 0,004x = 0,004x+0,4.$$

Нам известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей, поэтому получаем условия:

Откуда получаем, что искомая величина x = 25.

Источник

Задача 63

2 сентября 2016

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Пусть кредит планируется взять на $n$ лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно, то есть $n$раз на $\frac$ :

По условию, каждый январь долг возрастает на 25%, значит, коэффициент повышения равен $1+0,01\cdot 25=1,25=1\frac=\frac$. Последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:

Таким образом, первая выплата равна $35-\left( 28-\frac \right)=7+\frac$,

Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:

По условию наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей, а это первый из платежей. Получаем: $7+\frac=9$, откуда $n=14$. Значит, всего следует выплатить

По условию долг уменьшается по арифметической прогрессии:

Первая выплата равна $28\cdot 1,25-(28-d)=7+d.$

Вторая выплата равна $ (28-d)\cdot 1,25-(28-2d)=7+0,75d.$

Третья выплата равна $ (28-2d)\cdot 1,25-(28-3d)=7+0,5d.$

Четвертая выплата равна $ (28-3d)\cdot 1,25-(28-4d)=7+0,25d$ и так далее.

Значит, наибольшая выплата — первая, $7+d=9,$ $d=2$, $d=\frac$, значит, выплат — 14 штук и они составляют арифметическую прогрессию, но с разностью $-0,25d=-0,5$.

Общая выплата равна $9+8,5+8+. +2,5=11,5\cdot 7=80,5$.

Источник

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет).

Очевидно, первый платеж самый большой. Считаем
28*1,25=36
35-9=26
Долг стал меньше на 2 млн.
26*1,25=32,5
Чтобы долг стал еще меньше на 2 млн и стал 24 млн, надо выплатить 8,5 млн
Долг 24, заплатили 8
Долг 22, заплатили 7,5
Долг 20, заплатили 7
Долг 18, заплатили 6,5
Долг 16, заплатили 6
Долг 14, заплатили 5,5
Долг 12, заплатили 5
Долг 10, заплатили 4,5
Долг 8, заплатили 4
Долг 6, заплатили 3,5
Долг 4, заплатили 3
Долг 2, заплатили 2,5
Долг 0

Всего выплат 9+8,5+8+7,5+7+6,5+6+5,5+5+4,5+4+3,5+3+2,5=

Источник

В июле планируется взять кредить на сумму 69 510 рублей

В июле планируется взять кредить на сумму 69 510 рублей. условие его возврата таковы. каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению предыдущего года
С февраля по июль необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами ( то есть за два года)?

Пусть ежемесячный платеж равен: х.
Пусть сумма, взятая в кредит, равна: a.
Составим уравнение по условию задачи:

Мы вычислили общий платеж за 3 месяца.

Вычислим общий платеж за 2 месяца:
Пусть ежемесячный платеж равен: y.
Пусть сумма, взятая в кредит, равна: a.
Составим уравнение:

Источник

ЕГЭ-2016 ФИПИ, вариант 4, задача №17 на проценты

Задача. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Решение. Пусть планируется взять кредит на n лет. Разберемся, как же будет происходить погашение суммы в 16 млн рублей с процентной ставкой 25% годовых. Делим 16 млн рублей на n и получаем ежегодную сумму платежа без процентов, которую обозначим через х, т. е. х = 16/n, а 16 = xn. Проценты начисляют на остаток долга. Таким образом, в июле (когда и дали эти 16 млн рублей) сумма долга составляла xn рублей, а в январе насчитали на эту сумму 25%, и нужно выплатить, помимо основного ежегодного платежа (х млн рублей) еще и проценты. Это 0,25 xn млн рублей за первый год. Далее в июле выплачиваем х млн рублей, и основной долг составит xn-х, т. е х(n-1). В январе на эту сумму будет насчитано 25%, и это 0,25х(n-1) млн рублей процентов за второй год. За третий год после выплаты х млн рублей будет насчитано 0,25х(n-2) млн рублей процентов. За четвертый год после выплаты х млн рублей будет насчитано 0,25х(n-3) млн рублей процентов. Смотрите таблицу.

В июле планируется взять кредит на сумму

Далее суммируются все проценты с остатка основного долга, делятся на n — количество лет займа. Получается сумма p, которую добавляют к ежегодной выплате х млн рублей, и клиент ежегодно выплачивает равными долями по (x+p) млн рублей. Но это в данной задаче нас не будет интересовать, хотя… задумайтесь: банковские клерки любят говорить, что проценты начисляются на остаток займа, но умалчивают о том, что засчитывают в качестве ежегодной выплаты сумму х, а не сумму (x+p), после выплаты которой остаток был бы меньше, значит, и процентов набежало бы меньше… понимаете? А что вы должны понять? То, что фактически вы выплачиваете банку не 25% годовых, а гораздо больше. Может быть, вам и дают такие задачи, чтобы вы решили для себя, лезть вам в будущем в петлю займов-кредитов или жить по средствам.

Вернемся к задаче. По условию взяли 16 млн рублей, а через n лет вернули 38 млн рублей, значит, набежало 22 млн рублей процентов. Подсчитаем количество процентов (с остатков основного долга):

0,25xn+0,25x(n-1)+0,25x(n-2)+0,25x(n-3)+0,25x(n-4)+…+0,253x+0,252x+0,25x.

Вынесем 0,25х за скобки.

0,25х(n+ (n-1)+ (n-2)+ (n-3)+ (n-4)+…+3+2+1). В скобках мы имеем сумму арифметической прогрессии, которую вычислим по формуле:

В июле планируется взять кредит на сумму

Это сумма процентов за все время кредита.

По условию значение этой дроби равно 22. Решим уравнение:

В июле планируется взять кредит на сумму

Умножим обе части равенства на 2, получаем 0,25x(n+1)n=44.

В июле планируется взять кредит на сумму

4(n+1) = 44 → n+1 = 11 → n = 10.

Ответ: кредит планируется взять на 10 лет.

Решебник задачи №17 в 36 вариантах из сборника ФИПИ ЕГЭ-2016. Профильный уровень. Подробнее здесь.

Источник

Набор задач №19 с решениями для ЕГЭ по математике

Успейте воспользоваться скидками до 50% на курсы «Инфоурок»

В июле планируется взять кредит на сумму

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта «Инфоурок» и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

Пусть X (рублей) — нужно платить ежегодно.

В январе сумма долга составит 8052000*1,2 = 9662400.

После 1 платежа сумма долга станет равна 9662400 — X.

В январе сумма долга составит (9662400 — X)*1,2.

После 2 платежа сумма долга станет равна (9662400 — X)*1,2 — X.

В январе сумма долга составит ((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2.

После 3 платежа сумма долга станет равна ((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X.

В январе сумма долга составит (((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X)*1,2.

После 4 платежа сумма долга станет равна (((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X)*1,2 — X.

Так как кредит был погашен 4 равными платежами, то после 4 платежа долга не осталось, т. е.

(((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X)*1,2 — X = 0.

Решим это уравнение и найдем X.

((9662400*1,2-1,2X — X)*1,2 — X)*1,2 — X = 0,

(9662400*1,2 2 — 2,64X-X)*1,2 — X = 0,

9662400*1,2 3 — 4,368X — X = 0,

5,368X = 9662400*1,2 3 ,

Ответ: 3 110 400

2. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?
Решение

Пусть в банке было взято X млн. руб.

В январе сумма долга будет составлять 1,2 X.

После 1 платежа сумма долга составит: 1,2 X — 2,16.

В январе сумма долга будет составлять 1,2 ⋅ ( 1,2 X −2,16)=1,2 2 ⋅ X −2,592. 1,2 ⋅ (1,2X−2,16)=1,22 ⋅ X−2,592.

После 2 платежа сумма долга составит: 1,2 2 ⋅ X −1,2 ⋅ 2,16−2,16=1,2 2 ⋅ X −4,752 1,22 ⋅ X−1,2 ⋅ 2, 16−2,16=1,22 ⋅ X−4,752 .

В январе сумма долга будет составлять 1,2 ⋅ ( 1,2 2 ⋅ X −4,752)=1,2 3 ⋅ X −5,7024 1,2 ⋅ (1,22 ⋅ X−4,752)=1,23 ⋅ X−5,7024 .

После 3 платежа сумма долга составит: 1,2 3 ⋅ X −5,7024−2,16=1,2 3 ⋅ X −7,8624 1,23 ⋅ X−5,7024−2,16=1,23 ⋅ X−7,8624 .

Так как кредит был погашен 3 равными платежами, то после 3 платежа долга не останется, т. е.

1,2 3 ⋅ X −7,8624=0 1,23 ⋅ X−7,8624=0 ,

1,2 3 ⋅ X =7,8624 1,23 ⋅ X=7,8624 ,

То есть в банке было взято 4,55 млн. руб.

3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
Найдите число а, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей.
Решение

В январе сумма долга составит (1+ a /100) ⋅ 100000=100000+1000 a (1+a/100) ⋅ 100000=100000+1000a.

После 1 платежа долг будет равен 100000+1000 a −55000=45000+1000 a 100000+1000a−55000=45000+1000a.

В январе сумма долга составит (1+ a /100) ⋅ ( 45000+1000 a ) (1+a/100) ⋅ (45000+1000a) .

После 2 платежа долг будет равен (1+ a /100) ⋅ ( 45000+1000 a )−69000 (1+a/100) ⋅ (45000+1000a)−69000 .

Так как кредит был полностью погашен за 2 года, то после выплаты 2 платежа долга не осталось, то есть

(1+ a /100) ⋅ ( 45000+1000 a )−69000=0, (1+a/100) ⋅ (45000+1000a)−69000=0,

45000+1000 a +450 a +10 a 2 −69000=0 45000+1000a+450a+10a2−69000=0 ,

A 2 +145 a −2400=0 a2+145a−2400=0 ,

A 1 =15, a 2 =−160. a1=15, a2=−160.

4. В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года.
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?
Решение

Рассмотрим сначала случай, когда кредит будет погашен 4 равными платежами.

Пусть X (рублей) — сумма ежегодного платежа.

В январе сумма долга составит 1,2 * 4026000.

После 1 платежа долг будет равен 1,2 * 4026000 — X.

В январе сумма долга составит 1,2 ⋅ ( 1,2 ∗ 4026000− X )=1,2 2 ⋅ 4026000−1,2 X 1,2 ⋅ (1,2 ∗ 4026000−X)=1,22 ⋅ 4026000−1,2X.

После 2 платежа долг будет равен 1,2 2 ⋅ 4026000−1,2 X − X =1,2 2 ⋅ 4026000−2,2 X 1,22 ⋅ 4026000−1,2X−X=1,22 ⋅ 4026000−2,2X.

В январе сумма долга составит 1,2 ⋅ ( 1,2 2 ⋅ 4026000−2,2 X )=1,2 3 ⋅ 4026000−2,64 X 1,2 ⋅ (1,22 ⋅ 4026000−2,2X)=1,23 ⋅ 4026000−2,64X.

После 3 платежа долг будет равен 1,2 3 ⋅ 4026000−2,64 X − X =1,2 3 ⋅ 4026000−3,64 X 1,23 ⋅ 4026000−2,64X−X=1,23 ⋅ 4026000−3,64X.

В январе сумма долга составит 1,2 ⋅ ( 1,2 3 ⋅ 4026000−3,64 X )=1,2 4 ⋅ 4026000−4,368 X 1,2 ⋅ (1,23 ⋅ 4026000−3,64X)=1,24 ⋅ 4026000−4,368X.

После 4 платежа долг будет равен 1,2 4 ⋅ 4026000−4,368 X − X =1,2 4 ⋅ 4026000−5,368 X 1,24 ⋅ 4026000−4,368X−X=1,24 ⋅ 4026000−5,368X.

Так как кредит был выплачен 4 равными платежами, то после 4 платежа сумма долга рана 0, то есть:

1,2 4 ⋅ 4026000−5,368 X =0, 1,24 ⋅ 4026000−5,368X=0,

5,368 X =1,2 4 ⋅ 4026000 5,368X=1,24 ⋅ 4026000 ,

X =1555200. X=1555200.

А за все 4 года выплаченная сумма составит 4 ⋅ 1555200=6220800. 4 ⋅ 1555200=6220800.

Теперь рассмотрим случай, когда кредит был погашен 2 равными платежами.

Пусть Y (руб.) — размер ежегодного платежа.

В январе сумма долга составит 1,2 * 4026000.

После 1 платежа долг будет равен 1,2 * 4026000 — Y.

В январе сумма долга составит 1,2 ⋅ ( 1,2 ∗ 4026000− Y )=1,2 2 ⋅ 4026000−1,2 Y 1,2 ⋅ (1,2 ∗ 4026000−Y)=1,22 ⋅ 4026000−1,2Y.

После 2 платежа долг будет равен 1,2 2 ⋅ 4026000−1,2 Y − X =1,2 2 ⋅ 4026000−2,2 Y 1,22 ⋅ 4026000−1,2Y−X=1 ,22 ⋅ 4026000−2,2Y.

Так как кредит был выплачен 2 равными платежами, то после 2 платежа сумма долга рана 0, то есть:

1,2 2 ⋅ 4026000−2,2 Y =0, 1,22 ⋅ 4026000−2,2Y=0,

2,2 Y =1,2 2 ⋅ 4026000 2,2Y=1,22 ⋅ 4026000 ,

Y =2635200. Y=2635200.

А за 2 года выплаченная сумма составит 2 ⋅ 2635200=5270400. 2 ⋅ 2635200=5270400.

Тогда разница между выплатами за 4 года и за 2 года будет равна:

6 220 800 — 5 270 400 = 950 400.

5. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?
Решение

Так как мы ищем минимальный срок кредита, то первый платеж должен быть максимальным, т. е. составлять 1,8 млн. рублей.

В январе сумма долга станет равной 1,2 * 6 = 7,2 млн. руб.

После 1 платежа сумма долга будет равна 7,2 — 1,8 = 5,4 млн. руб.

6 — 5,4 = 0,6 — разница между долгом в июле одного года и в июле следующего года.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то каждый год долг в июле должен быть на 0,6 млн руб. меньше, чем в июле предыдущего года.

В таком случае пусть осталось выплатить n платежей. Тогда

Учитывая, что 1 платеж уже был сделан, то минимальный срок крелита составит 10 лет.

Заметим, что все ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.

Действительно, на 2 год в январе месяце долг составит 5,4*1,2 = 6,48. После выплаты он должен отличаться от предыдущей суммы долга в июле на 0,6 млн. руб., значит, сумма долга в июле составит 5,4 — 0,6 = 4,8 млн. руб, а выплата за 2 год равна 6,48 — 4,8 = 1,68 млн. руб, что меньше, чем 1,8 млн. руб.

На (n+1)-ый год в июле месяце долг составит 6-0,6n.

Долг на январь месяц будет составлять (6-0,6(n-1))*1,2

Сумма выплаты за n год равна (6-0,6(n-1))*1,2 — (6-0,6n) = 1,92 — 0,12n.

Получаем, что при n>1 ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.

Окончательно получаем, что кредит будет выплачен за 10 лет.

6. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?
Решение

В январе сумма долга составит 10*1,1 = 11 млн. руб.

Пусть 1 платеж составил X млн. руб. Тогда после 1 платежа долг составит (11-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то разница между долгом каждый год будет равна

10 — (11-X) = (X — 1) млн. руб.

Осталось выплатить долг еще за 4 года. Через 4 года долг в июле месяце будет равен

Так как кредит был погашен за 5 лет, то последний долг равен 0, т. е. получаем уравнение:

То есть 1-ый платеж составил 3 млн. руб.

После этого долг в июле составил 11-3 = 8 млн. руб.

Во 2 год в январе долг составит уже 1,1*8 = 8,8 млн. руб. И так как разница между долгом каждый год в июле равна 3 — 1 = 2 млн. руб., то на июль 2-го года долг составит 8 — 2 = 6 млн. руб. Значит, 2 платеж был равен 8,8 — 6 = 2,8 млн. руб.

В 3 год в январе долг равен 1,1*6 = 6,6 млн. руб. На июль 3-го года долг будет равен 6 — 2 = 4 млн. руб., значит, 3 платеж равен 6,6 — 4 = 2,6 млн. руб.

В 4 год в январе долг равен 4*1,1 = 4,4 млн. руб. На июль 4 года долг составит 4 — 2 = 2 млн. руб. И 4-ый платеж был равен 4,4 — 2 = 2,4 млн. руб.

На январь 5-го года долг составит 2*1,1 = 2,2 млн. руб. И так как кредит был полностью погашен за 5 лет, то это будет последний платеж и он будет равен сумме долга, т. е. 2,2 млн. руб.

Итого общая сумма платежей за 5 лет составила: 3+2,8+2,6+2,4+2,2 = 13 млн. руб.

7. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей?
Решение

В январе долг стал равен 20*1,3 = 26 млн. руб.

Пусть X (млн. руб.) — составил 1 платеж.

Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (26-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то эта величина равна 20 — (26-X) = (X-6) млн. руб.

Пусть кредит был взят на n лет.

Тогда в n-ый год в январе долг будет равен

(20−( n −1) ⋅ ( X −6)) ⋅ 1,3 (20−(n−1) ⋅ (X−6)) ⋅ 1,3 млн. руб.

В июле n-го года долг равен 20-n(X-6).

А выплату в n году можно посчитать по формуле:

(20−( n −1) ⋅ ( X −6)) ⋅ 1,3−(20− n ( X −6)). (20−(n−1) ⋅ (X−6)) ⋅ 1,3−(20−n(X−6)).

В 1 год платеж был равен X млн. руб.

(20− X +6) ⋅ 1,3−20+2 X −12=33,8−1,3 X −32+2 X =1,8+0,7 X. (20−X+6) ⋅ 1,3−20+2X−12=33,8−1,3X−32+2X=1,8+0,7X.

(20−2 X +12) ⋅ 1,3−20+3 ⋅ ( X −6)=41,6−2,6 X −20+3 X −18=3,6+0,4 X. (20−2X+12) ⋅ 1,3−20+3 ⋅ (X−6)=41,6−2,6X−20+3X−18=3,6+0,4X.

Имеем арифметическую прогрессию, разность которой равна 1,8-0,3X, а первый член прогрессии равен X.

Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей, то получаем по формуле для суммы n первых членов арифметической прогрессии:

S n =2 X +(1,8−0,3 X ) ⋅ ( n −1)2 ⋅ n =47, Sn=2X+(1,8−0,3X) ⋅ (n−1)2 ⋅ n=47,

(2 X +(1,8−0,3 X ) ⋅ ( n −1)) n =94. (2X+(1,8−0,3X) ⋅ (n−1))n=94.

Так как n-ый платеж является последним, то получаем уравение:

20− n ( X −6)=0, 20−n(X−6)=0,

Откуда получаем, что

Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии):

(2 X +(1,8−0,3 X ) ⋅ ( 20 X −6−1)) ⋅ 20 X −6=94. (2X+(1,8−0,3X) ⋅ (20X−6−1)) ⋅ 20X−6=94.

20 ⋅ ( 2 X ( X −6)+(1,8−0,3 X ) ⋅ 20−(1,8−0,3 X ) ⋅ ( X −6))=94 ⋅ ( X −6) 2 , 20 ⋅ (2X(X−6)+(1,8−0,3X) ⋅ 20−(1,8−0,3X) ⋅ (X−6))=94 ⋅ (X−6)2,

10 ⋅ ( 2 x 2 −12 X +36−6 X −1,8 X +10,8+0,3 X 2 −1,8 X )=47 ⋅ ( X 2 −12 X +36), 10 ⋅ (2×2−12X+36−6X−1,8X+10,8+0,3X2−1,8X)=47 ⋅ (X2−12X+36),

10 ⋅ ( 2,3 X 2 −21,6 X +46,8)=47 ⋅ ( X 2 −12 X +36), 10 ⋅ (2,3X2−21,6X+46,8)=47 ⋅ (X2−12X+36),

23 X 2 −216 X +468=47 X 2 −564 X +1692, 23X2−216X+468=47X2−564X+1692,

24 X 2 −348 X +1224=0, 24X2−348X+1224=0,

2 X 2 −29 X +102=0, 2X2−29X+102=0,

X 1 =8,5, X 2 =6. X1=8,5, X2=6.

Пусть X = 8,5. Тогда n = 20/2,5 = 8.

Если X = 6, то n посчитать невозможно, так как в знаменателе 0.

Получаем, что кредит был взят на 8 лет.

8. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет.
Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найти х, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей.
Решение

В январе сумма долга составит (1+ x /100) ⋅ 6 (1+x/100) ⋅ 6 .

Пусть первый платеж равен Y, тогда в июле останется сумма долга, равная

(1+ x /100) ⋅ 6− Y. (1+x/100) ⋅ 6−Y.

При этом в июле каждого года долг будет уменьшаться на одну и ту же величину, равную

6−((1+ x /100) ⋅ 6− Y )= Y −6 x /100. 6−((1+x/100) ⋅ 6−Y)=Y−6x/100.

Так как кредит будет полностью выплачен за 15 лет, то получаем уравнение:

6−15 ⋅ ( Y −6 x /100)=0, 6−15 ⋅ (Y−6x/100)=0,

5 Y −0,3 X =2, 5Y−0,3X=2,

Y =0,06 X +0,4. Y=0,06X+0,4.

Тогда в июле каждого года долг будет уменьшаться на величину, равную

Y −6 x /100=0,06 X +0,4−0,06 X =0,4. Y−6x/100=0,06X+0,4−0,06X=0,4.

И в июле сумма долга будет равна 6 — 0,4 = 5,6 млн. руб.

В январе сумма долга составит

(1+ x 100) ⋅ (( 1+ x 100) ⋅ 6− Y )=5,6 ⋅ ( 1+ x 100). (1+x100) ⋅ ((1+x100) ⋅ 6−Y)=5,6 ⋅ (1+x100).

В июле долг уменьшится на 0,4 млн. руб. по сравнению с июлем предыдущего года и станет равным 5,6 — 0,4 = 5,2.

Тогда платеж за 2 год составит

5,6 ⋅ ( 1+ x 100)−5,2=0,056 x +0,4. 5,6 ⋅ (1+x100)−5,2=0,056x+0,4.

Каждый год платеж уменьшается на одну и ту же сумму, а именно на

0,06 X +0,4−(0,056 x +0,4)=0,004 x. 0,06X+0,4−(0,056x+0,4)=0,004x.

Поэтому последний 15 платеж будет равен

0,06 X +0,4−14 ⋅ 0,004 x =0,004 x +0,4. 0,06X+0,4−14 ⋅ 0,004x=0,004x+0,4.

Нам известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей, поэтому получаем условия:

0,06 X +0,4≤1,9, 0,004 x +0,4≥0,5, 0,06X+0,4≤1,9, 0,004x+0,4≥0,5,

X ≤25, x ≥25. x≤25, x≥25.

Откуда получаем, что искомая величина x = 25.

9. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок
(целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей?
Решение

В январе долг стал равен 16*1,25 = 20 млн. руб.

Пусть X (млн. руб.) — составил 1 платеж.

Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (20-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то эта величина равна 16 — (20-X) = (X-4) млн. руб.

Пусть кредит был взят на n лет.

Тогда в n-ый год в январе долг будет равен

(16−( n −1) ⋅ ( X −4)) ⋅ 1,25 (16−(n−1) ⋅ (X−4)) ⋅ 1,25 млн. руб.

В июле n-го года долг равен 16-n(X-4).

А выплату в n году можно посчитать по формуле:

(16−( n −1) ⋅ ( X −4)) ⋅ 1,25−(16− n ( X −4)). (16−(n−1) ⋅ (X−4)) ⋅ 1,25−(16−n(X−4)).

В 1 год платеж был равен X млн. руб.

(16− X +4) ⋅ 1,25−16+2 X −8=1+0,75 X. (16−X+4) ⋅ 1,25−16+2X−8=1 +0,75X.

(16−2 X +8) ⋅ 1,25−16+3 ⋅ ( X −4)=2+0,5 X. (16−2X+8) ⋅ 1,25−16+3 ⋅ (X−4)=2+0,5X.

Имеем арифметическую прогрессию, разность которой равна

А первый член прогрессии равен X.

Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей, то получаем по формуле для суммы n первых членов арифметической прогрессии:

S n =2 X +(1−0,25 X ) ⋅ ( n −1)2 ⋅ n =40, Sn=2X+(1−0,25X) ⋅ (n−1)2 ⋅ n=40,

(2 X +(1−0,25 X ) ⋅ ( n −1)) n =80. (2X+(1−0,25X) ⋅ (n−1))n=80.

Так как n-ый платеж является последним, то получаем уравение:

16− n ( X −4)=0, 16−n(X−4)=0,

Откуда получаем, что

Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии):

(2 X +(1−0,25 X ) ⋅ ( 16 X −4−1)) ⋅ 16 X −4=80. (2X+(1−0,25X) ⋅ (16X−4−1)) ⋅ 16X−4=80.

16 ⋅ ( 2 X ( X −4)+(1−0,25 X ) ⋅ 16−(1−0,25 X ) ⋅ ( X −4))=80 ⋅ ( X −4) 2 , 16 ⋅ (2X(X−4)+(1−0,25X) ⋅ 16−(1−0,25X) ⋅ (X−4))=80 ⋅ (X−4)2,

2 x 2 −8 X +16−4 X − X +4+0,25 X 2 − X =5 ⋅ ( X 2 −8 X +16), 2×2−8X+16−4X−X+4+0,25X2−X=5 ⋅ (X2−8X+16),

2,25 X 2 −14 X +20=5 ⋅ ( X 2 −8 X +16), 2,25X2−14X+20=5 ⋅ (X2−8X+16),

9 X 2 −56 X +80=20 X 2 −160 X +320, 9X2−56X+80=20X2−160X+320,

11 X 2 −104 X +240=0, 11X2−104X+240=0,

X 1 =4, X 2 =60/11. X1=4, X2=60/11.

Пусть X = 60/11. Тогда n = 16:16*11 = 11.

Если X = 4, то n посчитать невозможно, так как в знаменателе 0.

Получаем, что кредит был взят на 11 лет.

10. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1300000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
На какое минимально количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты были не более 350000 рублей?
Решение

Если нужно найти минимальное количество лет, на которые нужно взять кредит, то выплаты должны быть максимальными, т. е. в условиях нашей задачи составлять 350 000 рублей в год.

В январе долг станет равным 1 300 000* 1,1 = 1 430 000 рублей.

После 1 платежа в июле сумма долга составит 1 430 000 — 350 000 = 1 080 000 рублей.

В январе долг станет равным 1 080 000*1,1 = 1 188 000 рублей.

После 2 платежа в июле сумма долга составит 1 188 000 — 350 000 = 838 000 рублей.

Январь: 838 000*1,1 = 921 800.

После 3 платежа в июле: 921 800 — 350 000 = 571 800.

Январь: 571 800*1,1 = 628 980.

После 4 платежа: 628 980 — 350 000 = 278 980.

Январь: 278 980*1,1 = 306 878.

5 платеж будет последним и составит 306 878 рублей.

Получили, что кредит можно взять минимум на 5 лет.

11. Зависимость объема Q (в шт) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000-P, 1000 ≤ P ≤ 15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.
Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство.
Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?
Решение

Доход можно вычислить по формуле:

PQ = P (15000− P ). PQ=P(15000−P).

Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.

Обозначим прибыль через R. Тогда R вычисляется по формуле:

R = PQ −(3000 Q +5000000)= P (15000− P )−(3000(15000− P )+5000000), R=PQ−(3000Q+5000000)=P(15000−P)−(3000(15000−P)+5000000),

R =15000 P − P 2 −45000000+3000 P −5000000, R=15000P−P2−45000000+3000P−5000000,

R =− P 2 +18000 P −50000000. R=−P2+18000P−50000000.

После снижения цены на 20% цена стала равна 0,8P. Соответственно прибыль будет вычисляться по формуле:

R =−(0,8 P ) 2 +18000 ⋅ 0,8 P −50000000. R=−(0,8P)2+18000 ⋅ 0,8P−50000000.

R =−0,64 P 2 +14400 P −50000000. R=−0,64P2+14400P−50000000.

Так как прибыль не изменилась, то получаем уравнение:

− P 2 +18000 P −50000000=−0,64 P 2 +14400 P −50000000, −P2+18000P−50000000=−0,64P2+14400P−50000000,

0,36 P 2 −3600 P =0, 0,36P2−3600P=0,

P 1 =0, P 2 =10000. P1=0, P2=10000.

Нам подходит значение P = 10 000 рублей. Соответственно новая цена равна 8000 рублей.

Теперь исследуем функцию R =− P 2 +18000 P −50000000 R=−P2+18000P−50000000 на максимум и найдем P, при котором будет достигаться наибольшая прибыль.

Для этого найдем производную функции R =− P 2 +18000 P −50000000 R=−P2+18000P−50000000 :

R ′ =−2 P +18000, R′=−2P+18000,

R ′ =0, P 1 =0, P 2 =9000. R′=0, P1=0, P2=9000.

P = 9000 — точка максимума данной функции, а значит при цене P = 9000 будет достигаться наибольшая прибыль.

Найдем, на сколько процентов нужно увеличить цену P = 8000, чтобы получить новую цену 9000 рублей. Имеем пропорцию:

То есть для достижения максимальной прибыли нужно увеличить новую цену на 12,5%.

12. 15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение

Пусть X (руб.) — взято в кредит в банке. Y (руб.) — первый платеж.

1 месяц (февраль):

1-го февраля долг стал равен (1+ r /100) ⋅ X (1+r/100) ⋅ X.

15 февраля сумма долга (после 1 платежа) будет составлять

(1+ r /100) ⋅ X − Y. (1+r/100) ⋅ X−Y.

Так как 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца, то эта сумма равна

X −((1+ r /100) ⋅ X − Y )= Y − rX /100. X−((1+r/100) ⋅ X−Y)=Y−rX/100.

Кредит был взят на 39 месяцев, а значит после 39 платежей долг будет полностью выплачен.

X −39 ⋅ ( Y − rX /100)=0, X−39 ⋅ (Y−rX/100)=0,

Y = X +39 rX /10039= X /39+ rX /100. Y=X+39rX/10039=X/39+rX/100.

Теперь найдем общую сумму погашения кредита.

Так как долг 15-го числа каждого месяца уменьшаеся на на одну и ту же сумму по сравнению с 15 числом предыдущего месяца, то и платеж каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину.

1 марта сумма долга станет равна

(1+ r /100) ⋅ (( 1+ r /100) ⋅ X − Y )=(1+ r /100) ⋅ (( X + rX /100− X /39− rX /100)= (1+r/100) ⋅ ((1+r/100) ⋅ X−Y)=(1+r/100) ⋅ ((X+rX/100−X/39−rX/100)=

=(1+ r /100) ⋅ 38 X /39. =(1+r/100) ⋅ 38X/39.

15 марта сумма долга будет составлять :

(1+ r /100) ⋅ X − Y −( Y − rX /100)= X −2 Y +2 rX /100= (1+r/100) ⋅ X−Y−(Y−rX/100)=X−2Y+2rX/100=

= X −2 X /39−2 rX /100+2 rX /100=37 X /39. =X−2X/39−2rX/100+2rX/100=37X/39.

Значит, второй платеж равен

(1+ r /100) ⋅ 38 X /39−37 X /39= X /39+38 rX /3900. (1+r/100) ⋅ 38X/39−37X/39=X/39+38rX/3900.

Разница между платежами составляет:

Y −( X /39+38 rX /3900)= X /39+ rX /100− X /39−38 rX /3900= Y−(X/39+38rX/3900)=X/39+rX/100−X/39−38rX/3900=

= rX /100 ⋅ ( 1−38/39)= rX /3900. =rX/100 ⋅ (1−38/39)=rX/3900.

Суммы платежей представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, где первый член равен Y или X/39+rX/100, а разность прогрессии равна rX/3900.

Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит, то есть общая сумма платежей равна 1,2X.

Найдем сумму всех 39 платежей по формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии:

S 39 =2( X /39+ rX /100)− rX /3900 ⋅ 382 ⋅ 39=1,2 X, S39=2(X/39+rX/100)−rX/3900 ⋅ 382 ⋅ 39=1,2X,

39 ⋅ ( 2 X /39+2 rX /100−38 rX /3900)=2,4 X. 39 ⋅ (2X/39+2rX/100−38rX/3900)=2,4X.

Сократим все уравнение на X:

39 ⋅ ( 2/39+2 r /100−38 r /3900)=2,4, 39 ⋅ (2/39+2r/100−38r/3900)=2,4,

2+78 r /100−38 r /100=2,4, 2+78r/100−38r/100=2,4,

40 r /100=0,4, 40r/100=0,4,

То есть искомое значение r = 1%.

13. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5х 2 +2x+6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px-(0,5x 2 +2x+6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?
Решение

За 3 года прибыль составит:

3 ⋅ ( px −(0,5 x 2 +2 x +6)). 3 ⋅ (px−(0,5×2+2x+6)).

Нужно найти наименьшее значение p, при котором выполнится неравенство:

3 ⋅ ( px −(0,5 x 2 +2 x +6))≥78, 3 ⋅ (px−(0,5×2+2x+6))≥78,

Px −(0,5 x 2 +2 x +6)≥26, px−(0,5×2+2x+6)≥26,

Px ≥0,5 x 2 +2 x +32, px≥0,5×2+2x+32,

P ≥0,5 x +2+32 x. p≥0,5x+2+32x.

Так как нужно найти наименьшее значение p, то нужно исследовать функцию 0,5 x +2+32/ x 0,5x+2+32/x на минимум. Для этого найдем ее производную:

(0,5 x +2+32/ x ) ′ =0,5−32/ x 2 , (0,5x+2+32/x)′=0,5−32/x2,

0,5−32 x 2 =0, 0,5−32×2=0,

X 2 =64, x 1 =8, x 2 =−8. x2=64, x1=8, x2=−8.

X = 8 — точка минимума, поэтому минимальное значение p равно:

P =0,5 ⋅ 8+2+32/8=4+2+4=10. p=0,5 ⋅ 8+2+32/8=4+2+4=10.

Источник

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Если ежегодно выплачивать по 77 760 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 131 760 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.

В июле планируется взять кредит на сумму

В июле планируется взять кредит на сумму

Пусть вся сумма кредита х рублей.
Ежегодно кредит будет увеличиваться в (1+r/100)=1+0.01r раз.
Рассмотрим выплату кредит за 2 года:
1-ый год: х(1+0,01r) — сумма долга
2-ой год: (х(1+0,001r)-131760)(1+0.01r) — сумма долга
Эта сумма соответствует 131760.
Для удобства вычислений в дальнейшем заменим (1+0,01r)=y.
(xy-131760)y=131760
Xy-131760=131760/y
Xy=131760(1+1/y)
X=131760(y+1)/y²
Этим мы выразили полную сумму кредита через проценты.

Рассмотрим увеличение долга и начисление процентов за 4 года:
1-ый год: xy
2-ой год: (ху-77760)у=(131760(1+1/y)-77760)у=54000у+131760
3-ий год: ((ху-77760)у-77760)у=(54000у+131760-77760)у=54000y²+54000y
4-ый год: (((ху-77760)у-77760)у-77760)у=(54000y²+54000y-77760)y
При этом остаток суммы в четвертый год составит 77760 рублей.
(54000y²+54000y-77760)y=77760
54000у(у+1)-77760(у+1)=0
(y+1)(54000y-77760)=0
Y+1=0
Y₁=-1 не подходит по условию, т. к. это проценты
54000y-77760=0
Y₂=77760/54000=1.44
Проведем обратную замену:
1+0.01r=1.44
0.01r=0.44
R=44% — проценты по кредиту
Х=131760(y+1)/y²=223260 рублей сумма кредита

Ответ БЫЛ ВЗЯТ КРЕДИТ В СУММЕ 223260 РУБ ПОД 44% годолвых

Источник

Поделиться:

Нет комментариев

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.

Adblock detector