В банке планируется взять кредит

В банке планируется взять кредит

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?

Так как мы ищем минимальный срок кредита, то первый платеж должен быть максимальным, т. е. составлять 1,8 млн. рублей.

В январе сумма долга станет равной 1,2 * 6 = 7,2 млн. руб.

После 1 платежа сумма долга будет равна 7,2 — 1,8 = 5,4 млн. руб.

6 — 5,4 = 0,6 — разница между долгом в июле одного года и в июле следующего года.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то каждый год долг в июле должен быть на 0,6 млн руб. меньше, чем в июле предыдущего года.

В таком случае пусть осталось выплатить n платежей. Тогда

Учитывая, что 1 платеж уже был сделан, то минимальный срок крелита составит 10 лет.

Заметим, что все ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.

Действительно, на 2 год в январе месяце долг составит 5,4*1,2 = 6,48. После выплаты он должен отличаться от предыдущей суммы долга в июле на 0,6 млн. руб., значит, сумма долга в июле составит 5,4 — 0,6 = 4,8 млн. руб, а выплата за 2 год равна 6,48 — 4,8 = 1,68 млн. руб, что меньше, чем 1,8 млн. руб.

На (n+1)-ый год в июле месяце долг составит 6-0,6n.

Долг на январь месяц будет составлять (6-0,6(n-1))*1,2

Сумма выплаты за n год равна (6-0,6(n-1))*1,2 — (6-0,6n) = 1,92 — 0,12n.

Получаем, что при n>1 ежегодные платежи не будут превышать 1,8 млн. руб.

Окончательно получаем, что кредит будет выплачен за 10 лет.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?

В январе сумма долга составит 10*1,1 = 11 млн. руб.

Пусть 1 платеж составил X млн. руб. Тогда после 1 платежа долг составит (11-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то разница между долгом каждый год будет равна

10 — (11-X) = (X — 1) млн. руб.

Осталось выплатить долг еще за 4 года. Через 4 года долг в июле месяце будет равен

Так как кредит был погашен за 5 лет, то последний долг равен 0, т. е. получаем уравнение:

То есть 1-ый платеж составил 3 млн. руб.

После этого долг в июле составил 11-3 = 8 млн. руб.

Во 2 год в январе долг составит уже 1,1*8 = 8,8 млн. руб. И так как разница между долгом каждый год в июле равна 3 — 1 = 2 млн. руб., то на июль 2-го года долг составит 8 — 2 = 6 млн. руб. Значит, 2 платеж был равен 8,8 — 6 = 2,8 млн. руб.

В 3 год в январе долг равен 1,1*6 = 6,6 млн. руб. На июль 3-го года долг будет равен 6 — 2 = 4 млн. руб., значит, 3 платеж равен 6,6 — 4 = 2,6 млн. руб.

В 4 год в январе долг равен 4*1,1 = 4,4 млн. руб. На июль 4 года долг составит 4 — 2 = 2 млн. руб. И 4-ый платеж был равен 4,4 — 2 = 2,4 млн. руб.

На январь 5-го года долг составит 2*1,1 = 2,2 млн. руб. И так как кредит был полностью погашен за 5 лет, то это будет последний платеж и он будет равен сумме долга, т. е. 2,2 млн. руб.

Итого общая сумма платежей за 5 лет составила: 3+2,8+2,6+2,4+2,2 = 13 млн. руб.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей?

В январе долг стал равен 20*1,3 = 26 млн. руб.

Пусть X (млн. руб.) — составил 1 платеж.

Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (26-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то эта величина равна 20 — (26-X) = (X-6) млн. руб.

Пусть кредит был взят на n лет.

Тогда в n-ый год в январе долг будет равен

\((20 — (n-1)\cdot(X-6))\cdot1,3 \) млн. руб.

В июле n-го года долг равен 20-n(X-6).

А выплату в n году можно посчитать по формуле:

В 1 год платеж был равен X млн. руб.

\((20 — X+6)\cdot 1,3 — 20 + 2X-12 = 33,8 — 1,3X — 32+2X = 1,8+0,7X.\)

\((20 — 2X+12)\cdot 1,3 — 20+3 \cdot(X-6) = 41,6-2,6X — 20+3X-18 = 3,6+0,4X.\)

Имеем арифметическую прогрессию, разность которой равна 1,8-0,3X, а первый член прогрессии равен X.

Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей, то получаем по формуле для суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Так как n-ый платеж является последним, то получаем уравение:

Откуда получаем, что

Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии):

$$20\cdot (2X(X-6)+(1,8-0,3X)\cdot 20 -(1,8-0,3X)\cdot (X-6)) = 94 \cdot (X-6)^2, $$

$$10\cdot(2x^2 — 12X+36-6X-1,8X+10,8+0,3X^2-1,8X) = 47 \cdot (X^2 — 12X+36),$$

$$10 \cdot (2,3X^2-21,6X+46,8) = 47 \cdot (X^2 — 12X+36), $$

$$23X^2-216X+468 = 47 X^2 — 564 X+1692, $$

Пусть X = 8,5. Тогда n = 20/2,5 = 8.

Если X = 6, то n посчитать невозможно, так как в знаменателе 0.

Получаем, что кредит был взят на 8 лет.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найти х, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей.

В январе сумма долга составит \((1+x/100)\cdot 6\).

Пусть первый платеж равен Y, тогда в июле останется сумма долга, равная

При этом в июле каждого года долг будет уменьшаться на одну и ту же величину, равную

$$6 — ((1+x/100)\cdot 6 — Y) = Y — 6x/100. $$

Так как кредит будет полностью выплачен за 15 лет, то получаем уравнение:

$$6 — 15 \cdot (Y-6x/100) = 0,$$

Тогда в июле каждого года долг будет уменьшаться на величину, равную

$$Y — 6x/100 = 0,06X+0,4 -0,06X = 0,4. $$

И в июле сумма долга будет равна 6 — 0,4 = 5,6 млн. руб.

В январе сумма долга составит

В июле долг уменьшится на 0,4 млн. руб. по сравнению с июлем предыдущего года и станет равным 5,6 — 0,4 = 5,2.

Тогда платеж за 2 год составит

$$5,6 \cdot (1+\frac) — 5,2 = 0,056x+0,4.$$

Каждый год платеж уменьшается на одну и ту же сумму, а именно на

$$0,06X+0,4 — (0,056x+0,4) = 0,004x.$$

Поэтому последний 15 платеж будет равен

$$0,06X+0,4 — 14 \cdot 0,004x = 0,004x+0,4.$$

Нам известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей, поэтому получаем условия:

Откуда получаем, что искомая величина x = 25.

Источник

Задание №19 из реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

Задание №19 из реального ЕГЭ по математике от 4 июня 2015

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №17»

15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на В банке планируется взять кредит% по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 15‐ го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите В банке планируется взять кредит.

Пусть в кредит взято В банке планируется взять кредитРублей.

1-го числа следующего месяца (февраль) долг составит

В банке планируется взять кредитРублей.

Со 2-го по 14-е число должна быть произведена выплата в размере

В банке планируется взять кредит

После чего сумма долга составит

В банке планируется взять кредит,

То есть В банке планируется взять кредит

(При такой схеме долг на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца).

1-го марта долг составит

В банке планируется взять кредит

Со 2-го по 14-е число должна быть произведена выплата в размере

В банке планируется взять кредит

После чего сумма долга составит

В банке планируется взять кредит

В итоге сумма выплат составит

В банке планируется взять кредит

Перепишем полученную сумму так:

В банке планируется взять кредит

Посколько известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит, то составим уравнение:

В банке планируется взять кредит

В банке планируется взять кредит

В банке планируется взять кредит

В банке планируется взять кредит

Ответ: 2.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Кредит и проценты

Довольно простая задача про кредиты, однако на фоне предыдущих задач, а также того, что встречается в банке ЕГЭ, она выглядит нестандартно.

Для её решения важно понимать два простых факта:

Ежемесячный платёж состоит из фиксированной части исходного кредита, а также из Процентов, начисленных на остаток задолженности; В отличие от более ранних экономических задач 17, здесь все вычисления сводятся не к геометрической, а к арифметической прогрессии.

В остальном это самая обычная задача, которая легко решается. И сейчас вы сами в этом убедитесь.:)

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

    1-го числа каждого месяца долг вырастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 933 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования?

Источник

В банке планируется взять кредит

Задание 17. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Взятый в первый год кредит в сумме 16 млн рублей, на следующий год сначала увеличивается на 25%, т. е. становится равный В банке планируется взять кредитМлн рублей, а затем, идет погашение таким образом, чтобы выплаты были равными каждый год. Предположим, что долг выплачивается В банке планируется взять кредитЛет, тогда после первого года выплата составит В банке планируется взять кредитИ сумма долга будет равна

В банке планируется взять кредитМлн рублей.

После второго года следует сделать выплату в размере В банке планируется взять кредитИ сумма долга будет равна

В банке планируется взять кредит.

Таким образом, после В банке планируется взять кредитЛет сумма долга будет равна

В банке планируется взять кредит,

А размер выплат составит

В банке планируется взять кредит

В банке планируется взять кредит,

Так как по условию задачи общая сумма выплат составила 38 млн рублей. Учитывая, что

В банке планируется взять кредит,

Источник

15-го января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн рублей

15-го января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата
Таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. В таблице приведены выплаты (в млн рублей):

15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
1 0.6 0.4 0.3 0.2 0.1 0

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, не должна превышать 1,25 млн рублей. Найдите r.

Источник

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей, где S — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы − каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года; − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; − в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующим графиком: Июль 2016 — S ; Июль 2017 — 0,7S ; Июль 2018 — 0,4S ; Июль 2019 — 0 рублей. Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

В банке планируется взять кредит

В банке планируется взять кредит

2016 год: в январе начислены проценты 0,15·S, общая сумма долга вместе с процентами 1,15·S. C февраля по июнь выплатили 0,15·S и на июль 2017 г останется долг, равный
1,15·S-0,15·S= S.

2017 год: в январе начислены проценты 0,15•S, общая сумма долга вместе с процентами 1,15•S. C февраля по июнь придется выплатить выплатили 1,15·S–0,7·S=0,45·S и на июль 2017 года долг составит 0,7·S.

2018 год: в январе начислены проценты 0,15•0,7S, общая сумма долга вместе с процентами 1,15•0,7S=0,805·S. C февраля по июнь придется выплатить 0,805·S–0,4·S=0,405·S и на июль 2018 года долг составит 0,4· S.

2019 год: в январе начислены проценты 0,15•0,4S, общая сумма долга вместе с процентами 1,1•0,4S=0,44·S. C февраля по июль придется выплатить 0,44·S и на июль долг составит 0.

По условию каждая из выплат должна составлять целое число тысяч рублей.
0,15S; 0,45S; 0,405 S и 0,44S — целое число тысяч
Пусть S=1000, тогда
0,15S=150
0,45S=450
0,405S=405
0,44S=440
Пусть S=10 000, тогда
0,15S=1500
0,45S=4500
0,405S=4050
0,44S=4400
Пусть S=100 000, тогда
0,15S=15 000
0,45S=45 000
0,405S=40 500
0,44S=44 000
⇒ Если S=200 000, то все выплаты будут удовлетворять условию задачи
О т в е т. S=200 000 руб.

Источник

В банке планируется взять кредит

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

Пусть X (рублей) — нужно платить ежегодно.

В январе сумма долга составит 8052000*1,2 = 9662400.

После 1 платежа сумма долга станет равна 9662400 — X.

В январе сумма долга составит (9662400 — X)*1,2.

После 2 платежа сумма долга станет равна (9662400 — X)*1,2 — X.

В январе сумма долга составит ((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2.

После 3 платежа сумма долга станет равна ((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X.

В январе сумма долга составит (((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X)*1,2.

После 4 платежа сумма долга станет равна (((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X)*1,2 — X.

Так как кредит был погашен 4 равными платежами, то после 4 платежа долга не осталось, т. е.

(((9662400 — X)*1,2 — X)*1,2 — X)*1,2 — X = 0.

Решим это уравнение и найдем X.

((9662400*1,2-1,2X — X)*1,2 — X)*1,2 — X = 0,

(9662400*1,2 2 — 2,64X-X)*1,2 — X = 0,

9662400*1,2 3 — 4,368X — X = 0,

5,368X = 9662400*1,2 3 ,

Ответ: 3 110 400.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.

Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Пусть в банке было взято X млн. руб.

В январе сумма долга будет составлять 1,2 X.

После 1 платежа сумма долга составит: 1,2 X — 2,16.

В январе сумма долга будет составлять \(1,2 \cdot (1,2 X — 2,16) = 1,2^2 \cdot X — 2,592.\)

После 2 платежа сумма долга составит: \(1,2^2 \cdot X — 1,2\cdot 2,16 — 2,16 = 1,2^2 \cdot X-4,752\).

В январе сумма долга будет составлять \(1,2 \cdot (1,2^2 \cdot X-4,752) = 1,2^3 \cdot X — 5,7024\).

После 3 платежа сумма долга составит: \(1,2^3 \cdot X — 5,7024 — 2,16 = 1,2^3 \cdot X-7,8624\).

Так как кредит был погашен 3 равными платежами, то после 3 платежа долга не останется, т. е.

\(1,2^3 \cdot X-7,8624 = 0\),

\(1,2^3 \cdot X = 7,8624\),

То есть в банке было взято 4,55 млн. руб.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число а, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей.

В январе сумма долга составит \((1+a/100) \cdot 100 000 = 100 000+1000a\).

После 1 платежа долг будет равен \(100 000+1000a — 55000 = 45000+1000a\).

В январе сумма долга составит \((1+a/100) \cdot(45000+1000a)\).

После 2 платежа долг будет равен \((1+a/100) \cdot(45000+1000a) — 69 000\).

Так как кредит был полностью погашен за 2 года, то после выплаты 2 платежа долга не осталось, то есть

\((1+a/100) \cdot(45000+1000a) — 69 000 = 0,\)

\( 45000+1000a +450a + 10a^2 — 69000 = 0\),

\(a^2 +145a — 2400 = 0\),

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года.

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

Рассмотрим сначала случай, когда кредит будет погашен 4 равными платежами.

Пусть X (рублей) — сумма ежегодного платежа.

В январе сумма долга составит 1,2 * 4026000.

После 1 платежа долг будет равен 1,2 * 4026000 — X.

В январе сумма долга составит \(1,2 \cdot (1,2 * 4026000 — X) = 1,2^2 \cdot 4026000 — 1,2X\).

После 2 платежа долг будет равен \(1,2^2 \cdot 4026000 — 1,2X — X = 1,2^2 \cdot 4026000 — 2,2X\).

В январе сумма долга составит \(1,2 \cdot (1,2^2 \cdot 4026000 — 2,2X) = 1,2^3 \cdot 4026000 — 2,64X\).

После 3 платежа долг будет равен \(1,2^3 \cdot 4026000 — 2,64X — X = 1,2^3 \cdot 4026000 — 3,64X\).

В январе сумма долга составит \(1,2 \cdot (1,2^3 \cdot 4026000 — 3,64X) = 1,2^4 \cdot 4026000 — 4,368X\).

После 4 платежа долг будет равен \(1,2^4 \cdot 4026000 — 4,368X — X = 1,2^4 \cdot 4026000 — 5,368X\).

Так как кредит был выплачен 4 равными платежами, то после 4 платежа сумма долга рана 0, то есть:

\(1,2^4 \cdot 4026000 — 5,368X = 0,\)

\(5,368X = 1,2^4 \cdot 4026000\),

А за все 4 года выплаченная сумма составит \(4 \cdot 1 555 200 = 6 220 800.\)

Теперь рассмотрим случай, когда кредит был погашен 2 равными платежами.

Пусть Y (руб.) — размер ежегодного платежа.

В январе сумма долга составит 1,2 * 4026000.

После 1 платежа долг будет равен 1,2 * 4026000 — Y.

В январе сумма долга составит \(1,2 \cdot (1,2 * 4026000 — Y) = 1,2^2 \cdot 4026000 — 1,2Y\).

После 2 платежа долг будет равен \(1,2^2 \cdot 4026000 — 1,2Y — X = 1,2^2 \cdot 4026000 — 2,2Y\).

Так как кредит был выплачен 2 равными платежами, то после 2 платежа сумма долга рана 0, то есть:

\(1,2^2 \cdot 4026000 — 2,2Y = 0,\)

\(2,2Y =1,2^2 \cdot 4026000\),

А за 2 года выплаченная сумма составит \(2 \cdot 2 635 200 = 5 270 400.\)

Тогда разница между выплатами за 4 года и за 2 года будет равна:

Источник

В банке планируется взять кредит

Задание 17. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 466,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Пусть В банке планируется взять кредитТыс. рублей требуется взять в кредит. В начале второго месяца сумма кредита увеличивается на 3%, т. е. становится равной В банке планируется взять кредит. После этого идет погашение части кредита так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину, т. е. во втором месяце погашается В банке планируется взять кредитТыс. рублей. Таким образом, сумма долга в конце второго месяца составляет

В банке планируется взять кредит.

По аналогии в третьем месяце сумма кредита увеличивается на 3%, т. е. равна В банке планируется взять кредитИ уменьшается на величину В банке планируется взять кредит. Сумма долга становится равной

В банке планируется взять кредит.

Таким образом, через 12 месяцев (1 год) выплаченная сумма долга составит

В банке планируется взять кредит

В банке планируется взять кредит

Которая по условию задачи равна 466,5 тыс. рублей. Получаем уравнение

Источник

Пример №27 из задания 13 (профильный уровень) ЕГЭ 11 класс

Пример №27 из задания 13 (профильный уровень) ЕГЭ 11 класс

Пусть `A_0` — сумма кредита, а `A_n` — сумма долга через `n` месяцев. Тогда получается, что через месяц сумма долга будет равной `A_1=A_0*1,05-x_1` (умножаем на `1,05` потому что каждый месяц Долг возрастает на `5%`), где `x_1` — выплата долга за первый месяц.

Посчитаем Сумму долга в конце второго месяца:

`A_2=A_1*1,05-x_2`, где `x_2` — выплата долга за второй месяц.

Аналогично будут следующие выплаты. Т. к. кредит планируется брать на `5` месяцев, то в пятый месяц долг будет полностью погашен (`A_5=0`) и сумма выплаты будет следующей: `A_5=A_4*1,05-x_5`.

В условии сказано, что Сумма долга уменьшается каждый месяц на одну и ту же сумму, значит, сумма долга уменьшается по арифметической прогрессии.

Общая сумма кредита, которую выплатят `x_1+x_2+. +x_5`.

Нам необходимо найти Процент выплат от общей суммы кредита `(x_1+x_2+. +5_x)/A_0 *100%`.

Найдем общую сумму выплат. Для этого выразим `x_1`, `x_2` и т. д. из суммы долга: `x_1+x_2+. +x_5=` `1,05(A_0+. +A_4)-(A_1+. +A_5)`.

Через формулу суммы арифметической прогрессии `S_n=((a_1+a_n))/2 *n` можно записать `A_0+. +A_4` в виде `(A_0+A_4)/2 *5`. Но т. к. у нас `A_5=0`, то можно к этому выражению прибавить его, т. к. сумма от этого не изменится. Получится следующее выражение `(A_0+A_5)/2 *6`.

`1,05(A_0+. +A_4)-(A_1+. +A_5)=` `1,05*(A_0+A_5)/2 *6-(A_1+A_5)/2 *5=` `0,525*6A_0-2,5A_1`. `A_1` по формуле `n` — го члена члена арифметической прогрессии можно записать в виде `A_1=A_0+d`.

Найдем `d` по формуле `n` — го члена арифметической прогрессии `A_5=A_0+5d`, т. к. `A_5=0`, то `A_0=-5d`. Отсюда `d=-(A_0)/5`.

Подставим все известные значения и посчитаем:

`3,15A_0-2,5(A_0+d)=` `3,15A_0-2,5A_0-2,5d=` `0,65A_0-2,5*(-(A_0)/5)=` `0,65A_0+0,5A_0=` `1,15A_0`.

Подставим известные значения в формулу для нахождения процента выплат от общей суммы кредита: `(1,15A_0)/(A_0) *100%=` `115%`.

Получается, что банку нужно вернуть `115%` от суммы кредита.

Пусть сумма кредита равна `S`. По условию, долг перед банком по состоянию на `15` число должен уменьшаться до нуля равномерно:

Первого числа каждого месяца долг возрастает на `5%`, значит, последовательность размеров долга по состоянию на `1` число такова:

Значит, выплаты должны быть следующими:

Всего следует выплатить:

Получается, что банку нужно вернуть `115%` от суммы кредита.

Источник

ЕГЭ-2016 ФИПИ, вариант 4, задача №17 на проценты

Задача. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн рублей?

Решение. Пусть планируется взять кредит на n лет. Разберемся, как же будет происходить погашение суммы в 16 млн рублей с процентной ставкой 25% годовых. Делим 16 млн рублей на n и получаем ежегодную сумму платежа без процентов, которую обозначим через х, т. е. х = 16/n, а 16 = xn. Проценты начисляют на остаток долга. Таким образом, в июле (когда и дали эти 16 млн рублей) сумма долга составляла xn рублей, а в январе насчитали на эту сумму 25%, и нужно выплатить, помимо основного ежегодного платежа (х млн рублей) еще и проценты. Это 0,25 xn млн рублей за первый год. Далее в июле выплачиваем х млн рублей, и основной долг составит xn-х, т. е х(n-1). В январе на эту сумму будет насчитано 25%, и это 0,25х(n-1) млн рублей процентов за второй год. За третий год после выплаты х млн рублей будет насчитано 0,25х(n-2) млн рублей процентов. За четвертый год после выплаты х млн рублей будет насчитано 0,25х(n-3) млн рублей процентов. Смотрите таблицу.

В банке планируется взять кредит

Далее суммируются все проценты с остатка основного долга, делятся на n — количество лет займа. Получается сумма p, которую добавляют к ежегодной выплате х млн рублей, и клиент ежегодно выплачивает равными долями по (x+p) млн рублей. Но это в данной задаче нас не будет интересовать, хотя… задумайтесь: банковские клерки любят говорить, что проценты начисляются на остаток займа, но умалчивают о том, что засчитывают в качестве ежегодной выплаты сумму х, а не сумму (x+p), после выплаты которой остаток был бы меньше, значит, и процентов набежало бы меньше… понимаете? А что вы должны понять? То, что фактически вы выплачиваете банку не 25% годовых, а гораздо больше. Может быть, вам и дают такие задачи, чтобы вы решили для себя, лезть вам в будущем в петлю займов-кредитов или жить по средствам.

Вернемся к задаче. По условию взяли 16 млн рублей, а через n лет вернули 38 млн рублей, значит, набежало 22 млн рублей процентов. Подсчитаем количество процентов (с остатков основного долга):

0,25xn+0,25x(n-1)+0,25x(n-2)+0,25x(n-3)+0,25x(n-4)+…+0,253x+0,252x+0,25x.

Вынесем 0,25х за скобки.

0,25х(n+ (n-1)+ (n-2)+ (n-3)+ (n-4)+…+3+2+1). В скобках мы имеем сумму арифметической прогрессии, которую вычислим по формуле:

В банке планируется взять кредит

Это сумма процентов за все время кредита.

По условию значение этой дроби равно 22. Решим уравнение:

В банке планируется взять кредит

Умножим обе части равенства на 2, получаем 0,25x(n+1)n=44.

В банке планируется взять кредит

4(n+1) = 44 → n+1 = 11 → n = 10.

Ответ: кредит планируется взять на 10 лет.

Решебник задачи №17 в 36 вариантах из сборника ФИПИ ЕГЭ-2016. Профильный уровень. Подробнее здесь.

Источник

Поделиться:

Нет комментариев

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.

Adblock detector